Eksemplerne omfatter følgende modelområder:

• Simulering af bygning af ‘pyramider’; Pyramide.
• Fremstilling af matematiske talrækker; Talrække.
• Simulering af antallet af kaniner og ræve på en øde ø, Biotop.
• Simulering af udbredelse af en sygdom, Epidemi.

 

Til Excel:	Modeller
Til Works:	Pyramide, Talrække, Biotop og Epidemi

 

Til Excel:	Modeller_fuld
Til Works:	Pyramide_fuld, Talrække_fuld, Biotop_fuld og Epidemi_fuld

Regnearket Pyramide

I dette regneark kan der laves beregninger på stabling af terninger eller kugler til Pyramider.

Med denne del af regnearket kan antallet af elementer ved bygning af forskellige pyramider beregnes. Pyramiderne bygges af ens terninger eller kugler.

I kolonnerne kan følgende skrives / beregnes:

Der er følgende pyramidetyper:

De to flade:
 

Type I:	Type II:

Den ‘firkantede’:	Den trekantede:

Den ‘rigtige’:

Besvar for hver pyramide, spørgsmålene:

• Udfyld de næste par linier i regnearket ved hjælp af ‘hovedregning’.
• Fremstil formler, der beregner, hvor mange enheder (terninger/kugler), der skal benyttes på hvert lag i en pyramide med op til 50 lag.
• Fremstil formler, der beregner, hvor mange enheder (terninger/kugler), der skal benyttes i alt.

• Hvor mange enheder skal der benyttes til at lave en pyramide på 5, 10 og 15 lag?
• Hvor mange lag kan man lave, når man har 1000 enheder til rådighed?

• Hvor stor er den samlede overflade af pyramiderne, hvis terningerne er 1 m på hver side og kuglernes radius er 1 m?

Keops-pyramiden er ca. 146 m høj. Lav følgende beregninger, når det antages:

• at hver sten er en terning med et mål på 1 meter på hver led og
• at stenene er placeret på samme måde som i den ‘rigtige’ pyramide

• Hvor mange sten rummer den, hvis der ikke er hulrum i den?
• Hvor meget vejer den, hvis hver sten vejer 1,7 tons?

• Fremstil på baggrund af de 5 talrækker et diagram, der viser talrækkernes udvikling.

Dette regneark benyttes til at opbygge talrækker, der kendes fra matematikken.

Trekanttal (A6 - C50)

Der består af talrækken:

1, 3, 6, 10, ...

A_n = 1+2+3+ ... +n

Der består af talrækken:

1, 5, 14, ...

A_n = 1*1 + 2*2 + 3*3 + + n*n

Der består af talrækken:

1, 1, 2, 3 , 5, 8, 13, ... (dvs. at et tal i rækken er summen af de to foregående)

A_n = A_n-2 + A_n-1

Mersenne-tal (M6 - O50)

Hvor de første tal er:

1, 3, 7, 15, 31, ...

A_n =2^ⁿ -1

I kolonnerne kan følgende skrives / beregnes:
 

A, E, I og M:	Tallets nummer.
B, F, J og N:	Det ved hjælp af ‘hovedregning’ beregnede tal.
C, G, K og O:	Det ved hjælp af en formel beregnede tal.

Den øverste del af de første kolonner i regnearket ser således ud:

Udfør følgende for hver talrække:

• Udfyld kolonnerne med tallenes numre, dvs. A15-A46, E15-E46, I15-I46 og M15-M46.
• Udfyld de næste par linier ved hjælp af ‘hovedregning’, dvs. kolonnerne B, F, J og N.
• Fremstil formler til beregning af tallene i cellerne C7,og G7 og K9 (i cellerne K7 og K8 skal tallet 1 placeres ) samt O7.
• Kopier formlen ned igennem regnearket, således at alle linier udfyldes.

• Sammenlign disse talrækker med talrækkerne i regnearket Pyramide.

Her er der fremstillet 5 modeller:

A. Vækst uden grænser

I denne model er der hverken mangel på fødevarer, og hverken rovdyr eller sygdom har indflydelse på antallet af kaniner.

Sammenhængen imellem antallet af kaniner og tidspunktet er derfor blot:

I den, som i de øvrige modeller, er regnearket opbygget af to dele:

I: Startværdier og kontanter, linie 5 – 14
II: Beregning af antal dyr, linie 19 –

• Fremstil formlen i celle B20, der beregner antallet af kaniner, ved Tidspunkt: 2

Den kan f.eks. se således ud:
= B19 + B19 * B$7

• Kopier formlen fra celle B20, således at alle celler B21-B58 bliver udfyldt.
• Fremstil et diagram, der viser udviklingen af kaninbestanden dvs. cellerne: B19-B58.
• Indstil vinduerne med regnearket og diagrammet, således at begge er synlige på skærmen:

• Foretag ændringer i startværdien for Konstant for formering af kaniner og se resultatet af ændringerne på diagrammet.

I denne model vil der være en maksimal værdi for kaninerne. Den bestemmes af den fødemængde, der er tilrådighed. Denne værdig kaldes for bæreevnen.

Derfor kan sammenhængen fremstilles som:

Opgaver:

• Fremstil formlen i celle E20, der beregner antallet af kaniner.

Den kan f.eks. se således ud:
= E19 + E$7 * (1 - E19 / $E8) * E19

• Kopier formlen fra celle E20, således at alle celler E21 – E58 bliver udfyldt.
• Fremstil et diagram, der viser udviklingen af kaninbestanden. Dvs. cellerne E19 – E58.
• Hvad sker der, hvis værdien ‘Konstant for formering af kaniner’ ændres nedad / opad? Se ændringerne i diagrammet.

I denne model vil antallet af kaniner blive reduceret ved at der også er ræve på øen. Disse ræve vil, i denne model, ikke formere sig, men vil blot æde en del af kaninerne. Jo flere kaniner, der findes på øen, jo ’mere’ mætte vil ræve blive.

Modellen kan nu se således ud:

Opgaver:

• Kopier antallet af ræve fra celle I19 til cellerne I20 – I58.
• Fremstil formlen i celle H20, der beregner antallet af kaniner.

Den kan f.eks. se således ud:
= H19 + H$7 * (1 – H19 / H$8) * H19 – H$12 * H19 * I19

• Kopier formlen fra celle H20, således at alle celler H21 – H58 bliver udfyldt.
• Fremstil et diagram, der viser udviklingen af kaninbestanden. Dvs. cellerne H19 – I58.
• Hvad sker der, hvis ‘Antal ræve ved start’ ændres opad / nedad ?

I den forrige model var bestanden af ræve konstant. Men hvis antallet af kaniner forøges, forøges mulighederne for, at der kan leve flere ræve også. Jo flere ræve, der finde spå øen, jo flere kaniner vil der blive spist. Derfor kan kaninbestanden falde. Hvis der desuden indføres en ’dødsrate’ for rævene, vil deres antal også kunne falde, når antallet af kaniner falder.

Model kan se således ud:

• Fremstil formlen i celle L20, der beregner antallet af kaniner.

Formlen kan f.eks. se således ud:
= L18 + L$7 * (1 – L19 / L$8) * L19 – L$9 * L19 * M19

• Fremstil formlen i celle M20, der beregner antallet af ræve.

Formlen kan f.eks. se således ud:
= M19 + L$12 * L19 * M19 – L$14 * M19

• Kopier formlerne fra celle L20 – M20, således at alle celler i området L21 – M318 bliver udfyldt.
• Fremstil et diagram, der viser udviklingen af kanin- og rævebestanden, dvs. cellerne L19 – M318.
• Hvad sker der, hvis Antal ræve ved start ændres opad / nedad?
• Hvad sker der, hvis Dødsrate for ræve ændres opad/nedad?
• Hvad sker der, hvis Konstant for ræve ændres opad / nedad?

Dette regneark kan benyttes til at beregne antallet af raske og syge personer under en epidemi.

Der er i alt 3 modeller:

A: Raske personer bliver smittet

Der er følgende startværdier:

• Fremstil en formel, der skal placeres i celle C14, der beregner det nye antal syge personer i befolkningen.
• Beregn også det nye antal raske personer.
• Kopier disse formler til de øvrige linier, dvs. cellerne: B15 – C112
• Fremstil et diagram, der viser udviklingen af syge og raske personer, dvs. cellerne: B13 – C112

• Hvor mange dage går der før halvdelen af befolkningen er smittet?
• Hvor lang tid går der, inden der kun er en fjerdedel tilbage, der ikke er blevet smittet?
• Hvad sker der med disse to tal, hvis sandsynligheden for at blive smittet ændres til 5 %?

I denne model kan man også blive smittet. Men derefter bliver man immun og kan ikke blive smittet igen.

I denne model er der følgende startværdier:

• Fremstil en formel, der skal placeres i celle H14. Denne formel beregner det nye antal syge personer i befolkningen.

Denne formel kan se således ud:
= H13 + G13 * I$7 – H13 * I$8

• Fremstil en formel, der skal placeres i celle I16. Denne formel beregner det nye antal immune personer.

Denne formel kan se således ud:
=I13 + H13 * I$8

• Beregn også det nye antal raske personer.
• Kopier disse formler til de øvrige linier, dvs. cellerne: G15 – I112
• Fremstil et diagram, der indeholder tre kurver: ‘Antal raske’ ‘Antal syge’ og Antal immune’ personer i befolkningen. Dvs. cellerne G15 – I112

• Bliver hele befolkningen syg?
• Hvornår er der flest syge personer?
• Hvor mange syge personer er der på dette tidspunkt?
• Prøv af ændre sandsynligheden for at blive smittet og for at blive immun. (Dog kun en værdi ad gangen). Besvar de samme tre spørgsmål for de nye værdier.

I den forrige model blev antallet af smittede beregnet ud fra, hvor mange raske der var tilbage at smitte. En mere korrekt model vil være at beregne det nye antal smittede ud fra antallet af smittede, der kan sprede sygdommen.

Denne model bygge på:

• Enhver rask person har et fastsat antal kontakter med andre personer hver dag.
• Hvis en af disse personer er en syg, vil der være en bestemt sandsynlighed for, at den raske person bliver smittet.

1 – (1 – S * s /(A – 1))^K

 

S	er antallet af syge.
A	er antallet af personer i befolkningen.
s	er sandsynlighed for at blive syg, hvis man møder en syg.
K	antallet af kontaktet pr. person pr. dag.

(Se nedenfor for det matematiske grundlag for denne model)

Opgaver:

• Indskriv den formel, der skal placeres i celle M14. Denne formel beregner det nye antal syge personer i befolkningen.

Denne formel skal se således ud:
= M13 + L13 * (1 – (1 – M13 * N$7 / (N$5 – 1))^N$9) – M13 * N$8

• Fremstil en formel, der skal placeres i celle N14. Denne formel beregner det nye antal immune personer.

Denne formel kan se således ud:
= N13 + M14 * N$8

• Beregn også det nye antal raske personer.
• Kopier disse formler til de øvrige linier, dvs. cellerne: M15 – N112.
• Fremstil et diagram, der indeholder tre kurver: ‘Antal raske’ ‘Antal syge’ og Antal immune’ personer i befolkningen. Dvs. cellerne M13 – N112.

• Bliver hele befolkningen syg?
• Hvornår kulminerer sygdommen?
• Hvor mange syg er der, når sygdommen kulminerer?
• Prøv af ændre lidt på smittefrekvensen og helbredelsesfrekvensen (en ad gangen) og besvar de samme tre spørgsmål.

1. Beregning af sandsynlighed for at blive syg, når to personer møder hinanden:

2. Beregning af, at man bliver syg, når man har mødt en række personer.
Dette kan sammenlignes med eksperimentet med at kasse en terning og bestemme sandsynligheden for at få mindst én sekser. Dette gøres ved at bestemme sandsynligheden for at ingen af kastene giver en sekser, og trække denne sandsynlig fra 1.

    Sandsynlighed for at undgå en sekser i et kast er: 1 –1/6

    Sandsynligheden for at undgå en sekser i K kast er: (1-1/6)^K (dvs. opløftet til K. potens)

    Sandsynlig for at få mindst én sekser er derfor: 1-(1-1/6)^K

3. Samling af de to formler:
Idet sandsynligheden for at få en sekser, svarer til sandsynligheden for at blive syg, når to personer møder hinanden, bliver den samlede formel:

    1 - (1 – S * s / (A – 1)^K