Gennem en årrække har professor Karsten Schnack ved DLH redigeret serien
”Didaktiske studier”. Bind 20 i enne serie indeholder artikler om læseplaner,
blandt andre Karen Borgnakke: ”Projektpædagogikken og de nye projektopgaver”
samt den efterfølgende artikel om skolens matematikundervisning gennem det seneste halve
århundrede.
I 90-erne skete mange vigtige ting i Danmarks Matematiklærerforening. For eksempel
stod i tidsskriftet Matematik nr. 1, 1991 foreningens landsformand anført som Esben
Esbensen; men i nr. 2 samme år var navnet på landsformanden ændret til Lene
Christensen. For tiden skriver Lene Christensen en række artikler i Matematik om
historisk matematik i undervisningen (se for eksempel Matematik nr. 6, 1996). På
matematikholdet havde jeg i begyndelsen af 90-erne nogle kursister, der var meget optaget
af rørelserne i foreningen (og undervisningsdifferentiering). Desuden havde et par af
kursisterne med stor succes i skolen anvendt Børge Rasmussen: ”Den guddommelige
brøk”. (Dengang solgt af foreningen under omtalen: ”Bogen beskriver det
universelle i Fibo-tallene og ”det gyldne snit”. Med folkeskolematematik, en
passer og en lommeregner som værktøj åbnes en spændende verden”).
I Matematik nr. 6, 1994 ses på siderne 60-63 en interessant beretning af Børge
Rasmussen: ”De ulige tal og kvadrattallene”.
Under indtryk af de ovenfor nævnte, samt af de dengang meget dominerende retninger
”problemløsninger” og ”aktivitetsteori”, skrev jeg dengang i 90-93
noter om Fibonaccital, kvadrattal o. l. til de hold, som jeg dengang regnede med, skulle
være de sidste, jeg kom til at undervise. For nylig blev jeg imidlertid tilbudt en
lejlighed til igen at plage et hold lærere på DLH, og i den anledning så jeg, at en del
af tidligere tiders numre om tal og former nu atter er bragt på banen. Så altså:
Vi antager, at vi har en masse 1-kroners frimærker og en masse 2-kroners frimærker.
Samt at vi ønsker at klistre fire kroners porto i frimærker på en vandret række
øverst til højre på en konvolut.
Desuden negligerer vi ønsker om, at frimærker med højere værdi skal anbringe yderst
til højre. Vi anbringer frimærkerne i den rækkefølge, som vi selv vil.
Frankeringen kunne nu for eksempel se sådan ud. Her er vist fire muligheder:
Er der flere muligheder?
Her ses nogle tal. De er alle skrevet med cifrene 1 og 2 og de har alle samme tværsum:
11111 212 1112 1211
Findes der flere af den slags tal?
De to eksempler ovenfor ligner meget matematikopgaver - for eksempel slutter de begge
med et spørgsmål. For hver af dem ville et passende svar være JA. Men selv om det jo er
godt nok, så var der ønske om noget mere som: På hvor mange måde kan en porto på en
krone repræsenteres? På hvor mange måder en porto på to kroner? Og en porto på tre
kroner? Og måske kunne et skema tegnes, hvori man ellers kunne læse forskellige tal og
se mulighederne tegnet mere eller mindre systematisk.
Også i eksemplet Tværsum kan læseren selv stille mange andre spørgsmål at arbejde
videre med. Eksempelvis: Hvor mange tal findes der, som ikke indeholder andre cifre end 1
og 2, og hvis tværsum er otte?
Og således forventes det i det følgende, at det opgavelignende af læseren benyttes som
udgangspunkt, for selv at rejse flere spørgsmål - og så arbejde videre med dem.
Her ses en stribe af tal - begyndelsen til en uendelig talfølge:
1 1 2 3 5 8 13 21
Ovenfor ses kun de første tal i talfølgen. Det sjette tal i følgen - lad os kalde
det F6 - er åbenbart tallet 8. Hvad er F12?
Er nogle af tallene i følgen delelige med to?
Findes der kvadrattal - større end 1 - i følgen?
Har talfølgen noget med de første eksempler at gøre?
| En lærer beder en elev skrive to tal på tavlen. Det ene under det andet: | 2 |
| 5 |
| Nu beder læreren eleven skrive summen af disse to tal neden under femtallet. Altså: | 2 |
| 5 | |
| 7 |
| og derefter under syvtallet summen af de to nederste tal. Og således videre, til der i alt står en lodret stribe på ti tal: |
2 |
5 |
|
7 |
|
12 |
|
19 |
|
31 |
|
50 |
|
81 |
|
131 |
|
212 |
Sluttelig beder læreren om at få alle disse tal lagt sammen. Men længe inden eleven
er blevet færdig, skriver læreren 550 oppe i hjørnet af tavlen.
En anden elev vælger tallene 1 og 6, og allerede da eleven skriver det ottende tal
(nemlig tallet 86) i den lodrette stribe med ti tal i, skriver læreren den samlede sum
583 i hjørnet af tavlen.
Er læreren et talgeni?
Talfølgen
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...
kaldes Fibonaccital. Opkaldt efter matematikeren Leonardo fra Pisa, der levede omkring
år 1200, og som er mere kendt under navnet Fibonacci (søn af Bonaccio).
Fibonaccitallene optræder mange forskellige steder ikke blot i matematikken, men for
eksempel også i forskellige kunstudfoldelser. Billedhuggere, komponister, arkitekter og
malere har brugt dem, og i digtningen optræder de fra Vergil til Inger Christensen. Der
er skrevet mange bøger om dem, og fire gange om året udkommer der et tidsskrift, The
Fibonacci Quarterly, som behandler spørgsmål om tallene og deres forskellige
anvendelser. Her vil vi imidlertid kun beskæftige os med tallene som et middel til at se
eksempler på problemløsning, taliagttagelse, bogstavregning, bevisførelse,
ligningsløsning og andre matematiske gøremål.
I en kaningård er anbragt et matematisk kaninpar K1. Kaninerne er helt
unge. Først når de fylder 2 år, får de unger, og da får de et par, der efter 2 år
selv begynder at få kaninpar som afkom.
Første år - 1202 |
 |
År 1203 |
 |
År 1204 |
 |
År 1205 |
 |
År 1206 |
 |
De matematiske kaniner lever evigt, og de får hvert år et nyt par unger, når først
de er begyndt.
I diagrammet skal der gås ture fra tallet 1 mod højre hjørne til de andre tal. Altså lige mod højre, skråt op mod højre eller skråt ned mod højre:
 |
||
| Fra 1 - 2 Fra 1 - 3 Fra 1 - 4 Fra 1 - 5 |
turen 12 turene 13 123 turene 124 134 1234 |
antal: 1 antal: 2 antal: 3 |
Aage har en meget lang have. Hen gennem haven går en havegang med små sideudbygninger
- alt belagt med betonfliser.
Selve havegangen er belagt med kvadratiske hvide fliser - 2x2 - og sidegangene er belagt
med hvide 1x2-fliser, idet hver sidegang dog er afsluttet med en rød 1x2 flise, der
ligger på tværs af sidegangen.
På tegningen nedenfor ses begyndelsen af havegangen med nogle af de første sidegange. Først kommer alle sidegange med længde 1. Dem er der kun en af, og flisen er rød. Så kommer alle sidegangene af længden 2. Dem er der også kun en af. Derefter sidegange af længden 3, og således videre.
Tag stilling til hver af disse påstande. Vov selv nogle flere.
Hvert tredje Fibonaccital startende med F3 - er lige. Jo, for F1
er jo ulige, og det er F2 også, og da F3 er summen af disse to
ulige tal, så er F3 lige.
Herefter bliver både F2 + F3 og F3 + F4
ulige. Og sådan fortsætter det hele vejen: Hvis Fn og Fn+1 er
ulige, så er Fn+2 lige og de to følgende ulige.
| F1 | = | F3 | - | F2 |
| F2 | = | F4 | - | F3 |
| F3 | = | F5 | - | F4 |
.........................
| Fn+1 | = | Fn-1 | - | Fn |
| Fn | = | Fn+2 | - | Fn-1 |
Lægges alle venstresiderne sammen - og alle højresiderne sammen, ses, at summen af de
første n Fibonaccital er lig med Fn+2-1.
Her ses (begyndelsen) af fire talfølger:
1 2 5 13 34 89...
1 3 8 21 55 144...
1 3 8 21 55 144...
1 4 12 33 88 232...
Den anden talfølge har noget med den første at gøre. På samme måde som den fjerde har noget med den tredje at gøre. Og alle fire talfølger har noget med Fibonacci-talfølgen at gøre.
Her er tre flere:
1 1 2 3 5 8 13 21…
1 1 4 9 25 64 169 441…
1 2 6 15 40 104 237 714…
Sig noget pænt om den nederste talfølge.
Her ses to rosetter, som begge er bygget af kvadrater, der er anbragt i rundkredse.
På denne roset er der vist et par spiraler:
Der kan naturligvis - højre rundt - tegnes lige så mange af sådanne spiraler, som der
er kvadrater i den inderste rundkreds. Og der kan også tegnes spiraler venstre rundt.
Bladenes stilling på en stængel danner ofte en spiral, således at bladene har god
mulighed for at udnytte lyset. Også i ananasfrugter, kaktus, fyrrekogler,
solsikkeblomster - og mange andre steder - kan der ses spiraler.
Det har i mange år været kendt, at der i sådanne spiraler optræder Fibonaccital. For
eksempel har visse fyrrekogler 5 spiraler den ene vej rundt og 8 spiraler den anden vej
rundt. I solsikkehoveder af forskellige størrelser er der talt spiralantal 13/21, 21/34.
- Tæl selv.
Studiet af sådanne antal kaldes somme tider botanometri eller fyllotaksi.
Liniestykket AB er ved punktet P delt op i to liniestykker, således at AP (længden af
det kortere liniestykke) forholder sig til længden til PB (længden af det længere
liniestykke), som PB (længden af det længere liniestykke) forholder sig til AB (længden
af hele liniestykket):
Nederst er længden vist med små bogstaver.
Vi søger nu forholdet mellem AP og PB. Eller anderledes udtrykt: Vi
søger brøken a/b. Denne brøk vil vi også kalde x.
Vi har altså 
Brøken på højre side divideres i tæller og nævner med b. Herved fås (a) 
Denne ligning kan omformes til
x2 + x - 1 = 0, og den positive rod - altså tallet 
- vil vi kalde Det gyldne snit. Dette tal ligger tæt ved
tallet 0.61803 (siger lommeregneren).
Lad os løse ligningen (a) på en lidt mere dristig måde - nemlig ved at indsætte
brøken 
i stedet for x i nævneren på
højresiden. Når vi gentager denne proces, får vi en såkaldt kædebrøk: 
Bemærk, at denne kædebrøk er udtrykt med lutter ettaller.
Vi vil nu nævne en bestemt sammenhæng mellem Fibonaccitalfølgen og det gyldne snit.
I følgen er tal med højere nummer åbenbart større end tal med lavere nummer (undtagen
de to ettaller i begyndelsen). Men medens der frem gennem følgen træffes stadig større
tal, så går det noget anderledes, når man ser forholdet mellem et tal i følgen og det
efterfølgende tal i følgen.
Angiv hvert af disse tal som decimalbrøk med fem cifre efter kommaet:
1 |
: |
1 |
1 |
: |
2 |
2 |
: |
3 |
3 |
: |
5 |
5 |
: |
8 |
8 |
: |
13 |
13 |
: |
21 |
Forholdet mellem et tal og det næste i Fibonaccitalfølgen siges ”at gå
mod” det gyldne snit.
Angiv hvert af disse tal som decimalbrøk med fem cifre efter kommaet:
| Her ses en regulær femkant. To diagonaler er tegnet, og en vinkel er
halveret. (Tegn eventuelt femkantens omcirkel, cirklen gennem de fem hjørner.) |
 |
Brøken 
kaldes Den
guddommelige brøk.
Den betegnes tit med det græske bogstav, som svarer til vores F, nemlig F (udtales "fi"). Valget af dette bogstav siges at stamme
fra navnet på en græsk billedhugger Fidias der levede omkring 500 år før vor
tidsregning. Enkelte steder kan man se den guddommelige brøk omtalt som det gyldne snit.
Hvad kan der i øvrigt siges om sammenhæng mellem de to tal, hvoraf det ene er lidt over
1 og det andet lidt under 1?
Det foregående er - som tidligere nævnt - ikke nogen beretning om Fibonaccitallene, men blot oplæg til selvstændigt arbejde med matematikspørgsmål.
Der er imidlertid skrevet talrige bøger og artikler om emnet, så hvis en læser har fået lyst til at få noget at vide om det, så er der mange muligheder. Og hvis man først har fået fat i nogle artikler, kan man let komme videre i læsningen, idet de fleste artikler indeholder en række litteraturhenvisninger (desværre bagud i tiden).
For eksempel er der i Georgs Markowskys artikel ”Misconceptions about the golden
Ratio” (The College Mathematics journal Vol 23, no 1, jan 1992) anført 57 titler -
ikke i noget forsøg på at levere en udtømmende liste, men blot som et godt udgangspunkt
for læserens egen tilgang til emnet, som Markowsky udtrykker det.
Lad mig derfor nøjes med at give en enkelt henvisning:
MATEMATIK er et landsdækkende tidsskrift udgivet af DANMARKS MATEMATIKLÆRERFORENING. Det er et fagblad, der henvender sig til alle pædagoger i folkeskolen, som beskæftiger sig med faget matematik.
Forretningsfører Tulle Fenger
Postboks 102, Nordby
8305 Samsø
Telefon 8659 6022
Telefax 8659 6268